Цель этой книжечки – дать материал для приятной умственной гимнастики, для тренировки сообразительности и находчивости. Предназначенная пополнить досуг юных мат
На русском языке уже имеются сборники подобного типа. Появление еще одного было бы излишним, если бы составитель не стремился освежить традиционный материал неско
Второе издание этой книги, вышедшее в 1919–1920 гг. в весьма большом числе экземпляров, было перепечатано с первого без существенных изменений.
Для третьего издания текст заново отредактирован и некоторые задачи по различным соображениям заменены другими.
Октябрь, 1924
Головоломные размещения и занимательные перестановки
1. Белки и кролики
Рис. 1. На полянке.
2. Чайный сервиз
Рис. 2. Стол, накрытый к чаю.
Стол разграфлен на 6 квадратов, в каждом из которых, кроме одного, помещается какойнибудь предмет. Я воспользовался чайной посудой и разместил по квадратам чашки, ча
1) предмет перемещать только в тот квадрат, который окажется свободным;
2) нельзя передвигать предметы по диагонали квадрата;
3) нельзя переносить один предмет поверх другого;
4) нельзя также помещать в квадрат более одного предмета, даже временно.
Эта задача имеет много решений, но интересно найти самое короткое, т. е. обменять местами чайник и молочник за наименьшее число ходов.
В поисках решения незаметно прошел вечер; я покидал станцию, так и не найдя кратчайшего решения.
Может быть, читатели найдут его? На всякий случай предупреждаю, что искомое наименьшее число ходов все же больше дюжины, хотя и меньше полутора дюжин.
3. Автомобильный гараж
Рис. 3. В гараже.
Как это сделать за наименьшее число переездов? Надо заметить, что два автомобиля двигаться одновременно не могут и что в каждом отсеке гаража помещается только оди
4. Три дороги
Рис. 4. Три дома – три участка.
Можете ли вы указать эти пути?
5. Муха на занавеске
Рис. 5. Мухи на занавеске.
Спустя несколько минут три мухи сменили места и переползли в соседние, незанятые клетки; остальные 6 не двигались. Но забавно: хотя три мухи перешли на другие места,
6. Дачники и коровы
Рис. 6. Дачники и коровы.
Исполнимо ли их желание? Если исполнимо, то как нужно построить забор, чтобы он имел наименьшую длину и, следовательно, обошелся возможно дешевле?
7. Десять домов
Рис. 7. Дома и стены.
Этим планом заказчик остался недоволен: ведь при таком расположении можно подойти свободно к любому дому, а ему хотелось, чтобы если не все, то хоть один или два дома
8. Деревья в саду
Рис. 8. Сад до вырубки деревьев.
И в самом деле, садовник с изумлением убедился, что оставшиеся на корню 10 деревьев образуют 5 рядов по 4 дерева в каждом. Приказание его было исполнено буквально, но в
9. Белая мышь
Рис. 9. Кошка и мышки.
10. Из 18 спичек
Рис. 10. Спичечная геометрия.
Но сложите из тех же спичек два таких четырехугольника, чтобы один был в три раза больше другого по площади!
Решения задач 110
Рис. 11. Задачи о перестановке чайной посуды.
Вот порядок, в каком их следует передвигать на свободный квадрат: 2, 5, 4, 2,1,3, 2, 4, 5,1,4, 2, 3,4,1,5, 2.
Задача решается в 17 ходов; более короткого решения нет.
3. В таблице показаны по порядку все переезды, необходимые для того, чтобы помочь заведующему гаражом выйти из затруднительного положения. Цифры обозначают номера а
4. Три непересекающихся пути показаны на рис. 12. И Петру, и Павлу приходится идти довольно извилистой дорогой – но зато братья избегают нежелательных встреч.
5. Стрелки на рис. 13 показывают, какие мухи переменили место и с каких клеток они пересели.
Рис. 12. Три непересекающихся пути.
6. Забор можно поставить двумя способами (рис. 14 а, б). Забор, построенный по второму плану, короче и, следовательно, дешевле.
7. Вот единственное расположение, при котором 2 дома находятся в безопасности от нападения извне (рис. 15).
Рис. 13. Мухи на занавеске (в новой позиции).
Все 10 домов расположены здесь, как требовалось в задаче: по 4 на каждой из пяти прямых стен.
8. Деревья, оставшиеся несрубленными, расположены так, как показано на рис. 16. Как видите, они действительно образуют 5 прямых рядов, и в каждом ряду 4 дерева.
Рис. 14 а, б. Как оградить озеро от коров.
Рис. 15. Дома и стены (два дома в безопасности).
9. Кошка должна съесть первой ту мышь, которая находится у кончика ее хвоста (рис. 9). Попробуйте, начав с этой мыши счет по часовой стрелке, зачеркивать каждую 13ю мышь,
Рис. 16. Сад после вырубки деревьев.
Рис. 17.
10. На рис. 17 показано, как надо сложить из 18 спичек два четырехугольника, чтобы один был
Десять легких задач
11. Бочки
Рис. 18. Бочки с керосином.
Из 6 бочек на складе осталась всего одна. Которая?
12. До половины
13. Невозможное равенство
14. Число волос
15. Цена переплета
16. Цена книги
17. Головы и ноги
18. На счетах
Рис. 19. На конторских счетах отложено 25 семью косточками.
Но задача станет более замысловатой, если вам поставят условие: сделать это так, чтобы отодвинуть не 7 косточек, а 25. Попробуйте, в самом деле, показать на конторских
19. Редкая монета
20. Спаржа
Рис. 2.0. Как выгоднее покупать спаржу?
Решения задач 1120
13. Полупустая бочка есть не половина пустой бочки, а такая бочка, одна половину которой пуста, а другая – полна. Мы же рассуждали так, как будто слово «полупустая» зна
Рис. 21. Сколько воды в бочке?
14. Прежде чем решать задачу, задайте себе вопрос: чего больше – людей на свете или волос на голове одного человека? Разумеется, людей на свете неизмеримо больше, чем в
15. Обычно, не подумав, отвечают: – Переплет стоит 50 коп.
Но ведь тогда книга стоила бы 2 руб., т. е. была всего на 1 руб. 50 коп. дороже переплета!
Верный ответ такой: цена переплета – 25 коп., цена книги – 2 руб. 25 коп.
16. Иванов, как ни странно, и теперь будет платить меньше, чем остальные покупатели платили до 1 января. Он имеет 20 %ю скидку с цены, увеличенной на 20 %; другими словами, с
17. Если бы все 26 голов на лугу были человеческие, мы насчитали бы не 82 ноги, а только 52, т. е. на 30 ног меньше. От замены одного человека лошадью число всех ног увеличилос
18. 25 рублей можно отложить на счетах 25 косточками так, как показано на рис. 22.
Рис. 22. На конторских счетах 25 отложено двадцатью пятью косточками.
В самом деле, здесь отложено 20 руб. + 4 руб. + + 90 коп. + 10 коп. = 25 руб. При этом использовано 2 + 4 + 9 +10 = 25 косточек.
19. Разве римляне, чеканя монету до P. X., могли знать, что через 53 года родится Христос?
20. Покупательница прогадала. Пучок с двойным обхватом заключает в себе не вдвое, а вчетверо больше спаржи, нежели тонкий (рис. 20). Женщина должна была либо заплатить в
Десять задач потруднее
21 Сколько прямоугольников
Рис. 23. Квадрат, разделенный на квадраты.
Не спешите с ответом. Обратите внимание на то, что спрашивается не о числе квадратов, а о числе прямоугольников – больших и малых, – какие только можно насчитать в э
22. Реомюр и Цельсий
Рис. 24. Термометры Реомюра и Цельсия.
23. Столяр и плотники
24. Девять цифр
25. Книжный червь
Рис. 25. Собрание сочинений А.С. Пушкина в восьми томах и книжный червь.
Сколько всего страниц прогрыз червь, если в первом томе 700 страниц, во втором – 640, а в третьем – 670?
26. Сложение и умножение
Попытайтесь подыскать другие примеры. Чтобы вы не думали, что поиски напрасны, скажу: таких чисел весьма и весьма много.
27. Стрельба на пароходе
Рис. 26. Тир на палубе парохода.
28. Под водой
29. Как это сделано?
3 °Cкорость поезда
Решения задач 2130
Рис. 27. Хитроумное соединение в собранном виде.
23. Легко узнать, каков был средний заработок семерых плотников. Для этого нужно избыточные 3 руб. разделить поровну между 6 плотниками и к 20 руб. каждого прибавить пол
20 руб. 50 коп. + 3 руб., т. е. 23 руб. 50 коп.
24. Вот каким способом можете вы получить 100 из ряда девяти цифр и трех знаков + и –: 123 – 45–67 + 89 = 100
В самом деле: 123 + 89 = 212
45 + 67 = 112
212 – 112 = 100
Других решений задача не имеет. Впрочем, если у вас есть терпение, попытайтесь испробовать другие сочетания.
25. Казалось бы, надо просто сложить страницы трех томов – и задача решена. Но не спешите с решением. Обратите внимание на то, как стоят книги на полке и как расположены
И если червь проделал ход от 1й страницы тома I до последней страницы тома III, то он прогрыз всего только 640 страниц среднего тома да еще 4 крышки переплета, не более.
Рис. 28. Сколько страниц и крышек переплета прогрыз книжный червь?
26. Существует бесчисленное множество пар таких чисел. Вот несколько примеров:
27. Конечно, меткий стрелок попадет в цель – если только пароход движется равномерно по прямой линии. Такое движение парохода ничем не может повлиять на полет пули. Др
28. Каждое тело, если погрузить его в воду, становится легче: оно «теряет» в своем весе столько, сколько весит вытесненная им вода. Зная этот закон (открытый Архимедом),
Рис. 29. Хитроумное соединение в разобранном виде.
Булыжник весом в 2 кг занимает больший объем, чем 2килограммовая железная гиря, потому, что материал камня – гранит – легче железа. Значит, булыжник вытеснит больши
29. Ларчик открывается очень просто, как видно из рис. 29. Все дело в том, что выступы и углубления идут не крестом, как невольно кажется при рассматривании куба, а парал
30. Вы заметили, конечно, что при езде в вагоне все время ощущаются мерные толчки: никакие рессоры не могут сделать их неощутимыми. Происходят эти толчки от того, что ко
Рис. 30. Что происходит на стыке рельсов.
Обычная длина рельса – около 81/2 метра. Сосчитав с часами в руках число толчков в минуту, умножьте это число на 81/2, затем на 60 и разделите на 1000 – получится число кило
Так как
то достаточно разделить на 2 число толчков в минуту, чтобы приблизительно узнать, сколько километров пробегает поезд в час.
Обманы зрения
31. Загадочный рисунок
Рис. 31. Живые портреты.
Но начните двигать книгу вправо и влево, не переставая смотреть на рисунки. Произойдет любопытная вещь: физиономии словно оживут – начнут двигать зрачками вправо и
32. Четыре фигуры
Рис. 32. Какая из четырех фигур самая большая и какая – самая маленькая?
33. Три монеты
Рис. 33. Проверьте ваш глазомер: решить эту задачу с тремя монетами не так просто, как кажется.
Вы должны полагаться при этом только на свой глазомер и не прибегать к помощи линейки или циркуля. Большой точности от вас не требуется: если вы ошибетесь всего на 1
34. Кто длиннее?
Рис. 34. Какая фигура длиннее?
Конечно, эту задачу очень легко решить, если проделать измерения на самом деле. Но попробуйте заранее, без измерения, сказать, какая фигура длиннее, и потом проверьт
35. Кривые ноги
Рис. 35. Два великана с кривыми ногами.
36. Окружность пальца
37. Неожиданность
Рис. 36. Черный квадрат с белым отверстием.
38. Воздушный шар
Рис. 37. Воздушный шар на привязи.
39. Дорожки сада
Рис. 38. Какая из садовых дорожек длиннее?
Сначала дайте ответ, потом измерьте.
40. Какие линии?
Рис. 39. У треугольника выпуклые или вогнутые стороны?
Решения задач 3140
33. Ваше решение, вероятно, было приблизительно таким (рис. 40).
Рис. 40. Кажущееся (неправильное) решение задачи с тремя монетами.
Оно как будто вполне верно удовлетворяет условию задачи, не правда ли? Но попробуйте измерить расстояние циркулем – окажется, что вы ошиблись чуть ли не в полтора р
Рис. 41. Правильное решение задачи с тремя монетами.
Чем крупнее кружки, тем обман зрения поразительнее. Опыт хорошо удается и в том случае, если взять неодинаковые кружки.
34. Это интересный обман зрения: фигура человека, идущего впереди, имеет совершенно такую же длину, как и фигура последнего из идущих. Передний человек кажется нам вел
35. У этих людей ноги вовсе не кривые! Вы можете проверить их прямизну по линейке – все 8 линий идут совершенно прямо и параллельны между собой. Проверку можно выполнит
Кажущаяся кривизна представляет собой любопытный обман зрения, который особенно усиливается, если смотреть на рисунок сбоку.
36. Результат проверки смутит вас потому, что обнаружит грубую ошибочность ответа. Вы, наверное, думали, что окружность пальца раз в 5–6 меньше окружности запястья. Меж
Десять затруднительных положений
41. Жестокий закон
42. Милостивый закон
43. Учитель и ученик
44. На болоте
45. Три разведчика
46. Слишком много предков
Вы видите, что 20 поколений назад у меня была уже целая армия прямых предков, больше полумиллиона. И с каждым предыдущим поколением это число удваивается. Если считат
Чем дальше в глубь веков, тем число моих предков должно возрастать. В эпоху первых фараонов численность их должна была доходить до умопомрачительной величины. В кам
Но ведь и у вас, читатель, было столько же прямых предков. Прибавьте их к моим и присоедините еще предков всех своих знакомых, да прибавьте еще предков всех вообще лю
Не укажете ли вы им выход из этого затруднительного положения?
47. В ожидании трамвая
48. Куда девался гость?
49. Без гирь
50. На неверных весах
Рис. 42. Взвешивание без гирь.
Можете ли вы даже и на неверных весах, притом без гирь, отвесить правильно 5 кг от 10килограммового куска?
Решения задач 4150
Рис. 43. Куда девался исчезнувший гость?
48. Исчезнувший гость – это второй гость, который был незаметно пропущен при распределении стульев: после 1го и 11го гостя мы сразу перешли к 3му и следующим, миновав 2го. Оттогото нам и удалось разм
49. Задача сводится в сущности к тому, чтобы разделить 10 кг масла на две равные по весу части. Положите на каждую чашку по бумажному листу и накладывайте на них масло д
Рис. 44. Как разделить поровну 10 кг масла на правильных весах?
50. И на неверных весах можно достичь того же, но более сложным путем. Сначала надо разделить десять килограммов масла на две части так, чтобы они были
Рис. 45.
Если же чашки не будут на одном уровне, то надо от одного куска переложить немного масла на другой и повторять это до тех пор, пока обе порции не будут вполне заменят
Искусное разрезание и сшивание
Семь раз отмерь – один раз отрежь
51. Флаг морских разбойников
Рис. 46. Пиратский флаг.
На этот раз пираты потеряли двух пленных и, следовательно, должны перешить флаг так, чтобы полос было не 12, а 10. Можете ли вы указать простой способ разрезать флаг на
52. Красный крест
Рис. 47. Красный крест из красного квадрата.
53. Из лоскутков
Рис. 48. Красный крест из лоскутьев.
Сестра ухитрилась, не разрезав этих лоскутьев, сшить из них крест. Каким образом?
54. Два креста из одного
Рис. 49. Два красных креста из одного большого.
А значит, вместо одного креста у нее оказалось два поменьше одинаковой величины – один цельный, другой составной. Можете ли вы показать, как сестра это сделала?
55. Лунный серп
Рис. 50. Лунный серп.
56. Деление запятой
Рис. 51. Деление «запятой» на две равные (по площади) части.
Фигура эта интересна еще и тем, что из двух таких фигур можно составить круг. Каким образом?
57. Развернуть куб
Рис. 52. Куб и его развертки.
58. Составить квадрат
Рис. 53. Заготовка для квадрата.
Рис. 54. Еще одна заготовка для квадрата.
59. Четыре колодца
Рис. 55. Как разделить землю и колодцы?
Можно ли это сделать?
60. Куда девался квадратик?
Рис. 56. Куда исчез один квадратик?
Противоположный конец этой косой линии разрежет пополам последний квадратик справа, и в нем образуются два треугольничка. Нижний треугольничек обозначим буквой С
Решения задач 5160
Рис. 57 а, б. Как разрезать и перекроить пиратский флаг.
52. Сестра разрезала квадратный кусок материи на 4 части так, как показано на рис. 58а. Пунктиром обозначены линии разреза от вершин квадрата к середине его сторон.
Рис. 58 а, б. Как раскроить квадрат, чтобы из него можно было сшить крест.
Из этих четырех кусков сестра сшила крест (рис. 58 б). Как видите, в нем всего два шва.
53. Вот как сестра сшила крест из обрезков:
Рис. 59. Как сшить крест из обрезков.
54. Способ, каким сестра вырезала малый крест из большого и составила еще один крест из обрезков, показан на рис. 60.
Рис. 60. Как выкроить два малых креста из одного большого.
55. Сделать надо так, как показано на рис. 61. Получаются 6 частей, которые для наглядности пронумерованы.
Рис. 61. Как разделить полумесяц (лунный серп).
56. Решение видно из прилагаемого рис. 62. Обе части разделенной «запятой» равны между собой, потому что составлены из одинаковых частей.
Рис. 63 показывает, как составить круг из двух «запятых» – белой и черной.
Рис. 62. Как разделить «запятую» на две равные (по площади) части.
Рис. 63. Как составить круг из двух «запятых» – белой и черной.
Рис. 64. Развертки куба.
58. Решение первой задачи видно из рис. 65. А вот как составляется квадрат из 5 треугольников (рис. 66). Один треугольник предварительно разрезают, как показано на рис. 66
Рис. 65. Квадрат, составленный из четырех треугольников и одного малого квадрата.
Рис. 66 а, б. Квадрат, составленный из пяти треугольников.
59. Способ раздела земли между четырьмя арендаторами обозначен сплошными линиями на рис. 67. Рис. 67. Раздел земли и колодцев.
Участки получаются довольно причудливой формы, но зато у всех четырех арендаторов они совершенно одинаковы, и у каждого есть колодец.
60. Секрет непонятного исчезновения 64го квадратика открывается сразу, стоит только тщательнее исполнить рисунок.
Рис. 68. Тайна исчезнувшего квадратика.
Вглядитесь пристально в приложенный здесь чертеж – вы заметите, что прямоугольник вовсе не составлен из 64 квадратов, как кажется при неотчетливо исполненном черте
Десять замысловатых задач
61. Дешевый сторож
Рис. 69
– Это бы можно; но сколько же вы хотите за первый час? – Уж чего меньше: одно яблоко на первый час дадите, и достаточно. За второй – два яблока положите, и довольно. З
– Ладно, – поспешил согласиться арендатор. – «Если этот чудак так же честен, как нерасчетлив, то я, кажется, сделал выгодное дело: за несколько десятков яблок дост
– Это что такое, – накинулся на него арендатор. – Я вас нанимал сторожить, а не грабить. Куда увозите мои яблоки?
– Были ваши, теперь мои, – спокойно ответил сторож. – Забыли, небось, уговор?
– Уговор? Да разве по нашему уговору вам за одни сутки следует яблок целый воз? Считать не умеете…
– И не один воз следует. Сами считать не умеете.
– Не один воз! Что за вздор! Уж не все ли яблоки моего сада?
– Не только вашего. Во всем городе не закупите яблок, чтобы со мной расплатиться. Возов тысячи три понадобится, не меньше.
– Три тысячи возов яблок? За одни сутки? Ничего не понимаю…
А вы, читатель, понимаете? Кто из них считать не умел: сторож или арендатор? А может быть, ни тот ни другой?
62. Крестьянка и паровоз
63. Путешествие шмеля
Рис. 70.
Сколько времени отсутствовал шмель?
64. Ящик
65. Две цепи
Рис. 71. Мой ящик.
66. Мешки с мукой
67. Три дочери и два сына
68. Две свечи
69. Девятьсот поклонов
70. Наследство раджи
Решения задач 6170
Рис. 72. Маршрут шмеля.
Например, если катеты треугольника равны 3 и 4 м, то гипотенуза равна 5 м; если катеты равны 9 и 12 км, то третья сторона равна 15 км и т. п. В нашем случае один катет раве
На остановки у него ушло времени:
Итого: 3 часа + 2 часа = 5 часов. 64. Поверхность крышки равна произведению длины ящика и его ширины; поверхность боковой стенки равна высоте х ширину; поверхность перед
длина x ширина = 120; высота x ширина = 80;
высота x длина = 96.
Перемножим первые два равенства. Получим:
длина x высота x ширина x ширина = 120 x 80.
Разделим это новое равенство на 3е:
Сократив дробь и произведя действия, имеем
ширина x ширина = 100.
И, следовательно, ширина ящика равна 10 см. Зная это, легко определить, что высота ящика равна
80: 10 = 8 см, а его длина = 96: 8 = 12 см.
65. Вы не решите этой простой задачи, если не уясните себе сначала, из чего складывается длина цепи. Всмотритесь в рис. 73. Вы видите, что длина натянутой цепи складывает
Мы знаем, что одна цепь длиннее другой на 14 см и имеет на 6 звеньев больше. Разделив 14 на 6, получаем 21/3. Это и есть ширина одного звена, уменьшенная на двойную его толщ
Теперь легко определить, из скольких звеньев состояла каждая цепь. Из рисунка видно, что если мы отнимем от 36сантиметровой цепи двойную толщину первого звена, т. е.
35: 21/3 = 15.
Рис. 73. Звенья цепи.
Точно так же узнаем число звеньев в 22дюймовой цепи: 21: 21/3 = 9.
66. Мельник начал с того, что сложил все 10 чисел. Полученная сумма, 1156 кг – не что иное, как учетверенный вес мешков: ведь в нее вес каждого мешка входит 4 раза. Разделив
1 и 2 вместе весят 110 кг
1 и 3 –»»– 112 –»–
3 и 5 –»»– 120 –»–
4 и 5 –»»– 121 –»–
Теперь легко узнать сумму весов мешков 1, 2, 4 и 5: она равна 110 кг + 121 кг = 231 кг. Вычтя это число из общей суммы веса всех мешков (289 кг), получаем вес мешка 3, именно 58 кг.
Далее, из суммы веса мешков 1 и 3, т. е. из 112, вычитаем известный уже нам вес мешка 3; получается вес мешка 1: 112 кг – 58 кг = 54 кг.
Точно так же узнаем вес мешка 2, вычтя 54 кг из 110 кг, т. е. из суммы веса мешков 1 и 2. Получаем: вес мешка 2 равен 110 кг – 54 кг = 56 кг.
Из суммы веса мешков 3 и 5, т. е. из 120, вычитаем вес мешка 3, который равен 58 кг; узнаем, что мешок 5 весит 120 кг – 58 кг = 62 кг.
Остается определить вес мешка 4 из суммы весов мешков 4 и 5, т. е. из 121 кг. Вычтя 62 из 121, узнаем, что мешок 4 весит 59 кг.
Итак, вот вес мешков:
54 кг, 56 КГ, 58 КГ, 59 КГ, 62 КГ.
67. Мы знаем, что Володя вдвое старше Жени, а Надя и Женя вместе вдвое старше Володи. Значит, годы Нади и Жени, сложенные вместе,
Алеша старше Жени в 6 раз.
Наконец, нам известно, что сумма возрастов Лиды, Нади и Жени равна удвоенной сумме возрастов Володи и Алеши. Имея перед глазами табличку: Лиде – 21 год.
Надя – в 3 раза старше Жени,
Володя – в 2 раза старше Жени,
Алеша – в 6 раз старше Жени,
мы можем сказать, что
21 год + утроенный возраст Жени + возраст Жени = 4кратному возрасту Жени + 12кратному возрасту Жени,
или:
21 год + 4кратный возраст Жени = 16кратному возрасту Жени.
Значит, 21 год равен 12кратному возрасту Жени и, следовательно, Жене 21: 12 = 13/4 года. Теперь уже легко определить, что Володе 31
68. Для ясности нарисуем рядом две свечи – толстую, которая сгорает за 5 часов, и тонкую, которая сгорает за 4 часа. Заштрихуем сгоревшие части обеих свечей. Легко сообр
Рис. 74. Две свечи – толстая и тонкая.
Итак, огарок толстой свечи равен 1/ 3 сгоревшей части или
Ответ: свечи горели 33/4 часа.
69. Каждый ученик и ученица ежедневно раскланивались со всеми остальными школьниками и с заведующим. С самими собою, конечно, не раскланивались, зато делали поклон за
Проверим это. Девочки делают 19 x 20 = 380 поклонов подругам и 20 x 10 = 200 поклонов мальчикам. Мальчики мальчикам делают 9 x 10 = 90 и девочкам – 10 x 20 = 200 поклонов. Итого: 380 + 20
70. Задачу надо решать с конца. Самый младший сын получил столько брильянтов, сколько было сыновей, и еще 1/7 остальных; но так как остатка никакого не было, то младший сы
Отсюда вытекает, что число брильянтов самого младшего сына должно делиться на 6 без остатка. Попробуем допустить, что их было 6, и испытаем, подходит ли это число.
Если младший сын получил 6 брильянтов, то значит, он был шестой сын, и всех сыновей было 6. Пятый сын получил 5 брильянтов плюс 1/7 от 7, т. е. 5 + 1 = 6. Далее, 12 камней есть 6/7,
Вычисляем то, что осталось после третьего сына : 18 есть 6/7 этого остатка; значит, полный остаток – 21. Третий сын получил 3 + 1/7 от 21 = 6 брильянтов.
Точно так же узнаем, что на долю второго и первого сына пришлось тоже по 6 камней.
Итак, у раджи было 36 брильянтов и 6 сыновей.
Мы проверили число 6 и нашли, что оно удовлетворяет условиям задачи. Испытав 12, 18 и 24, убедимся, что эти числа не годятся, а больше двух дюжин детей у раджи едва ли могл
Десять задач о земле и небе
71. Всюду юг!
72. По телефону
73. Где начинаются дни недели?
74. Наперегонки с Землей
75. Закат солнца
Рис. 75. Закат Солнца: все ли правильно на рисунке? В этом рисунке есть одна несообразность, которую вам и нужно обнаружить.
76. Турецкий флаг
Рис. 76. Турецкий флаг.
Замечаете ли вы, что в изображении турецкого флага есть явная несообразность? В чем она состоит?
77. Задачашутка
78. Закат Луны
Рис. 77. Закат Луны: все ли правильно на рисунке?
79. Броненосец
80. Пароход и пловец на Луне
Решения задач 7180
Рис. 78. Звезда не может быть расположена так, как на турецком флаге: Луна не прозрачна.
«Большинство живописцев, – замечает по этому поводу известный французский астроном Фламмарион, – не знают этого, потому что не проходит года, чтобы в Парижском Са
76. Явная несообразность турецкого флага заключается в том, что звезда на изображении слишком близко придвинута к лунному серпу. В таком положении Луна и звезда на не
77. Из всех мест земного шара легче всего живется, конечно, на экваторе – по той простой причине, что там все предметы становятся легче. Паровоз, весящий в Москве 60 тонн
Кто же похищает у паровоза эти 60 кг? Главным образом – «центробежная сила»; она уменьшает вес всякого тела близ экватора на 1/250 долю по сравнению с его весом у полюс
На этом основании какойто затейник объявил однажды, что знает способ вполне законно и честно обвешивать покупателей. Секрет состоит в том, чтобы покупать товары в э
Едва ли можно разбогатеть на такой торговле, но по существу шутник прав, так как тяжесть действительно увеличивается с удалением от экватора, где «всего легче живет
Фокусы и игры
81. Отгадчик
82. Арифметический фокус
83. Карточный фокус
Рис. 79. Отгадывание задуманной карты «по заказу».
Из колоды игральных карт вы берете одну карту – допустим, валет пик, – кладете на стол, никому не показывая, и уверяете собеседника, что он может отгадать эту карту.
– Есть четыре масти. Назовите из них две, какие угодно.
– Бубны и пики, – отвечает собеседник наобум.
– Из этих двух укажите одну.
– Пусть бубны, – с улыбкой продолжает отгадчик.
– Значит, остаются только пики. Далее – в колоде имеются туз, король, дама, валет, десятка и девятка. Выберите из этих шести карт три.
– Король, дама и девятка, – опять наобум отвечает собеседник.
– Остаются, следовательно, туз, валет и десятка. Выберите из них две карты.
– Туз и валет.
– А теперь укажите из них одну.
– Ну, туз.
– Остается, значит, только валет. Вот он!
И вы торжествующе переворачиваете карту: масть и название угаданы!
Ваш собеседник в недоумении: каким образом он все же сумел угадать карту…
В чем секрет?
84. Что получится?
Рис. 80. Как приготовить бумажную ленту к склеиванию.
Рис. 81. Как склеить бумажную ленту в кольцо.
Вы показываете эту заранее приготовленную ленту своим гостям и спрашиваете их: – Что получится, если ленту разрезать вдоль посередине? Всякий ответит вам, что, оче
Но результат оказывается неожиданным. Как вы думаете, что получится?
85. Еще неожиданнее
Рис. 82. Кольцо, склеенное из бумажной ленты подругому.
86. Игра в «32»
87. То же, но наоборот
88. Игра в «27»
89. На иной лад
90. Из шести спичек
Решения задач 8190
83. Этот курьезный фокус, в сущности, прост до смешного. Его разгадка ясна, например, уже из того, что если на последний вопрос вам ответит не туз, а валет, успех отгадыва
Рис. 83. Кольцо, разрезанное вдоль средней линии.
Разумеется, когда вы проделаете этот фокус несколько раз подряд, уловка будет раскрыта. Но если не злоупотреблять недогадливостью партнера, то можно поставить в ту
84. Получаются два кольца, но продетые одно в другое, как звенья цепи (рис. 83). Если каждое из этих колец вы снова разрежете вдоль, то опять получите два кольца, продетые
85. При разрезании этого кольца вдоль получится, вопреки всем ожиданиям, не два кольца, а… одно, вдвое большее (рис. 84). Наша изогнутая лента, обладающая столь удивител
Другая замечательная особенность нашего кольца состоит в том, что у него нет «лицевой стороны» и «изнанки»: «лицо» ленты постепенно переходит в «изнанку», так что н
Рис. 84. Другое кольцо, разрезанное вдоль средней линии.
Рис. 85. Кольцо после двукратного разрезания.
Но вернемся к разрезанию нашей ленты. Если, разрезав ее вдоль и получив одно кольцо, вы разрежете новое кольцо, у вас получится на этот раз два кольца (рис. 85). Однако
89. Если условие игры обратное и выигравшим считается обладатель нечетного числа, вы должны поступать при игре следующим образом: имея четное число спичек, оставляйт
Рис. 86. Четыре равносторонних треугольника из шести спичек (треугольники – грани пирамиды).
90. Вы, вероятно, пытались составить шесть треугольников, располагая спички в одной плоскости. И, конечно, безуспешно, потому что так задачу решить невозможно. Но ведь
Геометрические силуэты
Занимательная игра, о которой мы сейчас будем говорить, имеет очень древнее происхождение. Она еще древнее, чем шахматы, хотя гораздо менее известна. Эта игра возник
Игра заключается в том, что складывают из определенных геометрических фигур, «танграмов», бесчисленное множество всевозможных силуэтов. «Танграмы» названы так от
Вот как надо разрезать квадрат (рис. 87). Сначала соедините углы В и D, т. е. проведите диагональ BD. Затем соедините середины сторон ВС и DC, т. е. проведите линию KL. Точку
Рис. 87. Как разрезать квадрат на танграмы.
Рис. 88. Семь танграмов.
Теперь на квадрате есть все нужные линии, и вы можете вырезать по ним танграмы. У вас получаются следующие геометрические фигуры: 5 треугольников (2 больших, 1 средней
Задачи эти заключаются в том, что из 7 упомянутых фигур необходимо составить определенный силуэт, причем: 1) нельзя накладывать один танграм на другой, хотя бы кончик
91. Игра на бильярде
Рис. 89.
92. оркестр
Рис. 90.
93. Восемь силуэтов
Рис. 91.
94. Еще шесть силуэтов
Рис. 92.
95. Где ошибка?
Рис. 93.
Одна из этих фигур изображена здесь неправильно: в таком виде, как она нарисована, ее невозможно сложить из танграмов. Укажите эту единственную фигуру.
96. Самая крупная фигура
97. 24 силуэта
Рис. 94.
98. Размеры танграмов
99. Откуда взялась нога?
Рис. 95.
100. Два квадрата из одного
Решения задач 91100
Рис. 96.
92. Решение задачи видно из рис. 97.
Рис. 97.
93. А решение этой задачи показано на рис. 98.
Рис. 98.
94. Способ сложения силуэтов показан на рис. 97.
Рис. 99.
95. Все фигуры, изображенные на рис. 99, можно сложить из танграмов (рис. 100), за исключением одной – лебедя. На рис. 101 показано, какие очертания имеет фигура лебедя, если
Рис. 100.
Рис. 101.
96. Все силуэты имеют одинаковую площадь, так как составлены из одних и тех же частей. Как бы ни различались между собой силуэты, все они представляют собой видоизмене
97. Решение задачи представлено на рис. 102.
Рис. 102.
98. Каждый из больших треугольников по площади равен 1/4 квадрата; средний треугольник вдвое меньше и, следовательно, равен 1/8 площади квадрата. Каждый маленький треуго
Рис. 103.
99. На рис. 103 показано, как составлены обе фигуры. Первая, безногая фигура, чутьчуть толще второй – на узкую полоску, отрезаемую линией АВ. Зато вторая фигура имеет ног
100. Один из двух квадратов образуют два больших треугольника. Второй нетрудно сложить из остальных 5 танграмов.
Комментарии